\section{Дифференцируемость в пространстве $\complexnum$.}
  В отличие от сходимости и непрерывности, дифференцируемости в \(\realnum^2\) и
  в \(\complexnum\) не равносильны. Различие между ними есть уже в определениях:
  \(\complexnum\) -- это алгебра с делением, а \(\realnum^2\) -- банахово
  пространство, в котором, хотя и есть умножение (скалярное произведение),
  деления нет.

  Так, вспомним определение из многомерного анализа:
  \definition[дифференцируемость на $\realnum^n$]{
    Отображение \(f : \realnum^n \to \realnum^k\) называется
    \defined{дифференцируемым} в точке \(a\), если существует такой линейный
    оператор \(A : \realnum^n \to \realnum^k\), что \[
      \lim_{h \to 0} \frac{\abs{f(a + h) - f(a) - Ah}}{\abs{h}} = 0
    \].

    При этом матрица оператора \(A\) в стандартном базисе называется
    \defined[производная в $\realnum^n$]{производной} от \(f\) в точке \(a\), и
    обозначается \(f'(a)\).
  }

  На комплексную же плоскость прямо обобщается определение из вещественного
  анализа:
  \definition[дифференцируемость]{
    Функция \(f : \complexnum \to \complexnum\) называется
    \defined{дифференцируемой} в точке \(z\), если существует такой предел: \[
      \lim_{h \to 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = f'(z)
    \]. Он называется \defined[производная]{производной} от \(f\) в точке \(z\).
  }

  Вместе с определением из вещественного анализа в комплексный переходят и все
  свойства производной. Перечислим их без доказательства:
  \begin{enumerate}
    \item
      Так же, как и в вещественном, и в многомерном анализе, равносильным
      определением дифференцируемости является \[
        f(z + h) - f(z) = Ah + o(h)
      \]. Здесь \(A\) -- линейный оператор, действующий по правилу \(t \mapsto
      f'(z)t\). Он называется \defined[дифференциал]{дифференциалом}.
    \item
      Если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна.
    \item
      Операция взятия производной однородна: \[
        (kf(z))' = k(f(z))'
      \].
    \item
      Операция взятия производной аддитивна: \[
        (f(z) + g(z))' = f'(z) + g'(z)
      \].
    \item
      Формула для производной произведения: \[
        (f(z)g(z))' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)
      \].
    \item
      Производная \(\frac{1}{f(z)}\): \[
        \left( \frac{1}{f(z)} \right)' = -\frac{f'(z)}{f^2(z)}
      \].
    \item
      Формула для производной частного: \[
        \left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)' = \frac{f'(z)g(z) - g'(z)f(z)}{g^2(z)}
      \].
    \item
      Производная композиции: \[
        \left( f(g(z)) \right)' = f'(g(z))g'(z)
      \].
  \end{enumerate}

  Пример: функция \(z^n\) дифференцируема на всей комплексной комплексной
  плоскости, кроме точки \(z = 0\). Действительно, согласно правилам
  дифференцирования \[
    (z^n)' = \left( \frac{1}{z^{-n}} \right)' = -\frac{-nz^{-n-1}}{z^{-2n}} =
    nz^{n - 1}
  \].

  Так как же, всё-таки, связана дифференцируемость на \(\complexnum\) с
  дифференцируемостью на \(\realnum^2\)? Легко заметить, что дифференцируемость
  на \(\complexnum\) является более сильным условием.
%  \begin{theorem}
%      Пусть \(f(z) : \complexnum \to \complexnum\), \(g(a) : \realnum^2 \to
%      \realnum^2\), причём \[
%        \big(\Re{f(x + iy)}, \Im{f(x + iy)}\big) = g(x, y)
%      \]. Тогда из дифференцируемости \(f\) в точке \(z\) следует
%      дифференцируемость \(g\) в точке \(a\).
%  \end{theorem}
%  \begin{proof}
%    Если \(f\) дифференцируема в точке \(z\), то дифференцируемы и \(\Re f(z)\)
%    и \(\Im f(z)\).
%
%    Рассмотрим \(s : (x, y) \mapsto x + iy\). Тогда \(u = (\Re f) \circ s\), а
%    \(v = (\Im f) \circ s\). Хочется теперь воспользоваться теоремой о композиции,
%    а для неё нужно, чтобы \(s\) была дифференцируемой.
%
%    Однако \(s\) не является ни функцией \(\realnum^n \to \realnum^k\), ни
%    \(\complexnum \to \complexnum\), а значит, понятие дифференцируемости для
%    неё попросту не определено. Выйдем из положения, доопределив его точно так
%    же, как и в обычном многомерном случае: пусть функция \(f : \realnum^n \to
%    \complexnum\) называется дифференцируемой, если найдётся
%    дифференциал \(A\): \[
%      f(a + h) - f(a) = Ah + o(\abs{h})
%    \]. Вместе с таким определением перенесётся и единственность дифференциала.
%    Так как \(s\) -- линейно, \[
%      s(x + \Delta x, y + \Delta y) - s(x, y) = s(\Delta x, \Delta y) + 0
%    \]. Так, \(s\) является дифференциалом к себе же, причём единственным.
%    
%    Уже почти всё хорошо, вот только мы не имеем право пользоваться теоремой о
%    композиции, так как для \(s\) её просто нет. Можно было бы попытаться
%    обобщить и её, но лучше докажем конкретно для \(w \circ s\) (где \(w\) --
%    любая функция комплексного переменного), так как с хорошим дифференциалом
%    это делается в две строки. Так, \(w\) дифференцируема, значит существует
%    оператор \(A\), такой, что \[
%      w(z + \Delta z) - w(z) = o(\Delta z) + A\Delta z
%    \]. Подставим \(\Delta z = s(x + \Delta x, y + \Delta y) - s(x, y) =
%    s(\Delta x, \Delta y)\): \[
%      w(s(x + \Delta x, y + \Delta y)) - s(x, y) = o(s(\Delta x, \Delta y)) +
%      As(\Delta x, \Delta y)
%    \]. Так как \(s\) -- линейная функция, \(o(s(\Delta x, \Delta y))\) -- это
%    \(o(\Delta x, \Delta y)\); а \(As\) -- это просто линейный оператор, все
%    операции с комплексными числами спрятаны внутри него, и про них можно забыть.
%
%    Композиции \(u \circ s\) и \(v \circ s\), получается, дифференцируемы. Тогда
%    дифференцируема и \(g(x, y) = (u(x, y), v(x, y))\).
%  \end{proof}
%
%  Равносильности же можно достигнуть, наложив дополнительные условия --
%  дифференцируемость \(u\) и \(v\) исследуемой точке по каждой координате и так
%  называемые \defined[условия Коши-Римана]{условия Коши-Римана}:
%  \{
%    \[
%      \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
%    \], \[
%      \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
%    \].
%  \}
%
%  \begin{theorem}[условия Коши-Римана]
%      Пусть \(f(z) : \complexnum \to \complexnum\), \(g(a) : \realnum^2 \to
%      \realnum^2\), причём \[
%        \big(\Re{f(x + iy)}, \Im{f(x + iy)}\big) = g(x, y)
%      \]. Если выполняются условия Коши-Римана, то дифференцируемость \(f\) в
%      точке \(z\) равносильна дифференцируемости \(g\) в точке \(a\).
%  \end{theorem}
%  \begin{proof} 
%    \begin{rightproof}[\(g\) дифференцируема в точке \(a\)]
%      
%    \end{rightproof}
%
%    \begin{leftproof}[\(f\) дифференцируема в точке \(z\)]
%      Согласно предыдущей теореме, это всегда так.  Однако доказательство в
%      случае, когда выполняются условия Коши-Римана, проще, поэтому приведём
%      здесь и его.
%      
%
%    \end{leftproof}
%  \end{proof}
%  Возвращаясь к разговору про отображения, можно заметить, что
%  дифференцируемость для них записать можно в виде:
%
%  $$
%  w: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right], \text{ дифференцируемость в} \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \Leftrightarrow \exists\text{ линейного оператора } A:
%  $$ 
%  \vspace{0.2 cm}
%  $$
%  \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} u_0 \\ v_0 \end{array} \right] + A \cdot \left(\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \right) + o\left( \left| \left| \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \right| \right|\right)
%  $$
%
%  \vspace{0.5 cm}
%
%  \noindent В связи с этим возникает вопрос о связи дифференцируемости комплексной функции и соответствующего ей отображения, на который отвечает следующая теорема:
% 
  \begin{theorem}
    Пусть функция \(f\) дифференцируема в точке \(z_0 = x_0 + i y_0\), тогда
    соответствующее ей отображение \(w: \realnum^2 \rightarrow \realnum^2\)
    дифференцируемо в точке \((x_0, y_0)\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Запишем определение дифференцируемости для функции \(f\): \[
      f(z) = f(z_0) + f'(z) \cdot (z - z_0) + o(|z-z_0|)
    \]. Числа \(z\), \(f(z)\), а также \(z_0\) и \(f(z_0)\) - комплексные, запишем
    их в декартовой форме (\(u, u_0, v, v_0\) - функции \(x\) и \(y\)):
    \{
      \[
        z = x+ i y
      \], \[
        f(z) = u + i v
      \], \[
        z_0 = x_0 + i y_0
      \], \[
        f(z_0) = u_0 + i v_0
      \].
    \}

    Комплексная производная \(f'(z) = A + i B\), подставим все величины в
    определение: \[
      u + i v = u_0 + i v_0 + (A + i B) \cdot \left(x-x_0 + i (y-y_0)\right) +
      o(|z- z_0|)
    \]. Рассмотрим равенства вещественных и мнимых частей в отдельности:
    \{
      \[
        u = u_0 + A(x-x_0) - B(y-y_0) + o(|z - z_0|)
      \], \[
        v = v_0 + B(x-x_0) + A(y-y_0) + o(|z - z_0|)
      \].
    \}

    Можно заметить\footnote{Как уже отмечалось ранее, модуль комплексного
    числа и евклидова норма вектора в $\realnum^2$ совпадают.}, что полученная
    система уравнений эквивалентна определению дифференцируемости отображения,
    при этом матрица оператора \(A\) (производная) выглядит следующим образом: \[
      \left[\begin{array}{c c}
        A & -B \\
        B & A \\
      \end{array}\right]
    \].

    Таким образом, дифференцируемость отображения доказана.
  \end{proof}

  В процессе доказательства получилось, что отнюдь не любому дифференцируемому
  отображению соответствует некая дифференцируемая комплексная функция, т.\,к.:
  \[
    \text{общий вид матрицы} \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D
    \end{array} \right] \ne \text{необходимому} \left[ \begin{array}{cc} A & -B
    \\ B & A \end{array} \right]
  \].

  Получающееся условие на матрицу дифференциала удобнее записать на языке
  частных производных: поскольку отображение дифференцируемо, то в некоторой
  окрестности исследуемой точки у него существуют все частные производные: \[
    A = \left[ \begin{array}{cc}
      \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
      \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\
    \end{array} \right]
  \].

  Дополнительные условия на производные очевидны и называются \defined[условия
  Коши-Римана]{условиями Коши-Римана}:
  \{
    \[
      \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
    \], \[
      \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
    \].
  \}
 
  Помимо этого, для частных производных требуется непрерывность\footnote{
  Подробнее в идее с частными производными можно разобраться с помощью конспекта
  по матанализу за IV семестр.}, и получается следующая обратная теорема:

  \begin{theorem}
    Пусть отображение \[
      w: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[
      \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right]
    \] дифференцируемо в точке \(\left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}
    \right]\), при этом частные производные \(\frac{\partial u}{\partial
    x}\), \(\frac{\partial u}{\partial y}\), \(\frac{\partial v}{\partial x}\)
    и \(\frac{\partial v}{\partial y}\) непрерывны и удовлетворяют условиям
    Коши-Римана, тогда комплексная функция \(f(x+iy) = u+iv\) дифференцируема в
    точке \(z_0 = x_0 + i y_0\).
  \end{theorem} 
  \begin{proof}
    Обратить ход доказательства предыдущей теоремы, \(f'(z_0) = A+i B\).
  \end{proof}

  \note{
    Если для функции выполняются условия Коши-Римана, то её производную можно
    записать в любой из следующих форм: \[
      f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial y}
            = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}
            = \frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y}
            = \frac{\partial v}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial x}
    \].
  }

  Не все функции являются дифференцируемыми. Пример: \(w = \Re{z}\) не
  дифференцируема ни в одной точке комплексной плоскости.
  \begin{proof}
    При \(z \neq 0\) предел \[
      \lim_{h \to 0} \frac{\Re(z + h) - \Re(z)}{h}
    \] не существует, значит, функция не дифференцируема. При \(z = 0\), предел
    переходит в \[
      \lim_{h \to 0} \frac{\Re{h}}{h}
    \]. Положим сначала \(\Im{h} = 0\). Тогда \(\Re{h} = h\) и при \(h = \Re{h}
    \to 0\) получаем, что предел равен единице. Если же устремить \(h\) к нулю
    как \(h = -\Re{h}\), то предел окажется равен минус единице \TODO{ЩИТО?}.
    Значит, он не существует, и функция не дифференцируема в нуле.
  \end{proof}

  \subsection{Различные формы условий Коши-Римана}
    Как известно, частные производные привязаны к определённому базису. Мы
    рассмотрели случай декартовых координат, но помимо них также широко
    используются полярные координаты. В них условия Коши-Римана выглядят
    по-другому:
    \{
      \[
        \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial
        \varphi}
      \], \[
        \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r
          \frac{\partial v}{\partial r}
      \].
    \}
    \begin{proof}
      В запись функции в виде \[
        f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
      \] подставим переход от полярных координат к декартовым:
      \{
        \[
          x = r\cos\varphi
        \], \[
          y = r\sin\varphi
        \].
      \}

      Запишем частные производные \(u\) и \(v\) по \(r\) и \(\varphi\),
      пользуясь известным из матанализа \emph{правилом цепочки}:
      \{
        \[
          \frac{\partial u}{\partial r} = 
            \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} +
            \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = 
            \frac{\partial u}{\partial x}\cos\varphi +
            \frac{\partial u}{\partial y}\sin\varphi
        \], \[
          \frac{\partial u}{\partial \varphi} = 
            \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} +
            \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi} =
            \frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\varphi) +
            \frac{\partial u}{\partial y}r\cos\varphi
        \], \[
          \frac{\partial v}{\partial r} = 
            \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} +
            \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = 
            \frac{\partial v}{\partial x}\cos\varphi +
            \frac{\partial v}{\partial y}\sin\varphi
        \], \[
          \frac{\partial v}{\partial \varphi} = 
            \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} +
            \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi} =
            \frac{\partial v}{\partial x}(-r\sin\varphi) +
            \frac{\partial v}{\partial y}r\cos\varphi
        \].
      \}
      Из этого получаем две системы:
      \begin{align*}
        \left\{\begin{array}{r c l}
          \frac{\partial u}{\partial r} &=&
            \cos\varphi\frac{\partial u}{\partial x} +
            \sin\varphi\frac{\partial u}{\partial y} \\
          \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi} &=&
            -\sin\varphi\frac{\partial v}{\partial x} +
            \cos\varphi\frac{\partial v}{\partial y} \\
          \end{array}
        \right.& \left\{\begin{array}{r c l}
          \frac{\partial u}{\partial \varphi} &=&
            -r\sin\varphi\frac{\partial u}{\partial x} +
            r\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial y} \\
        -r\frac{\partial v}{\partial r} &=& 
          -r\cos\varphi\frac{\partial v}{\partial x} -
          r\sin\varphi\frac{\partial v}{\partial y} \\
          \end{array}
        \right.
      \end{align*}

      Подставим в обе системы условия Коши-Римана для декартовых координат
      \begin{align*}
        \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} &
        \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x}
      \end{align*}
      Тогда из первой системы получится равенство \[
        \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial
        \varphi}
      \], а из второй -- \[
        \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r
          \frac{\partial v}{\partial r}
      \].
    \end{proof}

    Также существуют промежуточные формы условий Коши-Римана: полярно-декартова и
    декартово-полярная.
  \subsection{Связь вещественной и мнимой частей дифференцируемой функции}
    Общая идея: благодаря наличию условий Коши-Римана, зная одну из частей
    (вещественную или мнимую) дифференцируемой функции, можно восстановить
    другую (в качестве начального условия необходимо значение в точке для
    единственности).
    
    Пример. Пусть \(u(x, y) = x + y\), и известно, что для \(f\) выполняются
    условия Коши-Римана. Требуется найти \(v(x, y)\).
    
    Для этого требуется найти частные производные \(u\) по \(x\) и \(y\): \[
      \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 1
    \]. Подставим эти производные в условия Коши-Римана:
    \begin{align*}
      \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} = 1 &
      -\frac{\partial u}{\partial y} &= \frac{\partial v}{\partial x} = -1
    \end{align*}
    Теперь составим полный дифференциал: \[
      dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy
    \], и проинтегрируем его: \[
      v(x, y) = \int dv = \int\frac{\partial v}{\partial x}dx +
      \int\frac{\partial v}{\partial y}dy = -\int dx + \int dy = y - x
    \]. Вся функция \(f\) при этом равна \[
      f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = (x + y) + i(y - x)
    \].
      
  \subsection{Исследование дифференцируемости некоторых функций}
    \subsubsection{Модуль}
      Модуль не дифференцируем, так как для него не выполнены
      условия Коши-Римана. Действительно, для \(f(z) = \abs{z} = \abs{x + iy}\)
      \(u(x, y) = \abs{x + iy}\), а \(v(x, y) \equiv 0\). Тогда и \[
        \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0
      \], но \[
        \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} =
        \signum{x + iy}
      \]. Условия Коши-Римана выполняются только при \(z = 0\).        
    \subsubsection{Сопряжение}
      Комплексное сопряжение не дифференцируемо, так как выполнено только одно из
      условий Коши-Римана. Действительно, \(f(x + iy) = x - iy\), тогда
      \(u(x, y) = x\), \(v(x, y) = -y\). Вычислим частные производные в условиях
      Коши-Римана: \[
        \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = 0
      \]. Но второе условие не выполняется: \[
        1 = \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y} = -1
      \].
    \subsubsection{Экспонента}
      \(e^z\) -- дифференцируема.
      \begin{proof}
        Раскроем \(e^z\) по формуле Эйлера: \(e^z = e^x(\cos{y} + i\sin{y})\).
        Тогда \(u(x, y) = e^x\cos{y}\), а \(v(x, y) = ie^x\sin{y}\). Функции
        \(u\) и \(v\) имеют непрерывные частные производные любого порядка,
        значит, дифференцируемы в любой точке \((x, y)\) и удовлетворяют при
        этом условиям Коши-Римана. Следовательно, \(e^z\) аналитична, и \[
          (e^z)' = (e^x\cos{y})'_x + i(e^x\sin{y})'_x = e^x(\cos{y} + i\sin{y}) =
          e^z
        \].
      \end{proof}
    \subsubsection{Тригонометрические и гиперболические функции}
      Они все представимы в виде полусуммы или полуразности комплексных
      экспонент, следовательно, тоже аналитичны.
        

